Automatique pour l'Electronique

De EI.

Remarques:

Article en cours de rédaction, merci de signaler toute erreur mailto: walsimou at walsimou.com

Sommaire 1 Introduction 2 Notion de fonction de transfert 2.1 Définitions 2.2 Exemple 2.3 Fonction de transfert en boucle ouverte et fonction de transfert en boucle fermée 3 Etude des systèmes classiques normalisés 3.1 Système du premier ordre 3.1.1 Fonction de transfert d'un système du premier ordre 3.1.2 Etude fréquentielle: diagramme de bode 3.2 Système du second ordre 3.2.1 Fonction de transfert d'un système du second ordre 3.2.2 Etude fréquentielle: diagramme de bode 3.3 Système d'ordre supérieur 4 Stabilité d'un système 4.1 Introduction 4.2 Définition 4.3 Détermination de la stabilité dans un diagramme de Bode 4.4 Marges de stabilité 4.4.1 Marges de phase 4.4.2 Marges de gain 4.5 Conclusion

[modifier] Introduction

Ici nous allons donner quelques notions d'automatique, pour pouvoir étudier certains systèmes électroniques tels que AoP, les filtres, les cellules amplificatrices, les oscillateurs sinusoïdaux, les boucles à verrouillage de phase, etc...

[modifier] Notion de fonction de transfert

[modifier] Définitions

La fonction de transfert d'un système est le rapport de son signal d'entrée par rapport à son signal de sortie. Soit E(p)le signal appliqué à l'entrée d'un système et U(p) le signal à sa sortie. Alors sa fonction de transfert F(p) s'écrit:

• On dit que le système est temps invariant si la réponse du système à un instant t est la même à un autre instant t + τ et cela dans les mêmes conditions d'expérimentation.

Autrement dit mathématiquement:
si à l'instant t un signal d'entrée e(t) donne en sortie un signal u(t)
alors à l'instant t + τ, e(t + τ) donnera en sortie u(t + τ)

• On dit qu'un système de fonction de transfert F(p) est linéaire si:

pour un signal d'entrée E1(p), on a en sortie un signal U1(p)
pour un signal d'entrée E2(p), on a en sortie un signal U2(p)
alors pour un signal d'entrée E(p) = E1(p) + E2(p), on a en sortie un signal U(p) = U1(p) + U2(p).
C'est le théorème de superposition comme en électricité.

• Une fonction de transfert F(p) est définie uniquement pour un système linéaire, à temps invariant et avec des conditions initiales nulles.
• Connaissant l'expression F(p) de la fonction de transfert d'un système et celle du signal E(p) appliqué à l'entrée du système, on peut en déduire l'expression (et donc la forme) du signal en sortie U(p).

En effet:
U(p) = F(p).E(p)

[modifier] Exemple

Fichier:System e f u.png E(p) signal quelconque appliqué à l'entrée, U(p) signal recueilli à la sortie du système.
Nous allons déterminer la fonction de transfert F(p) du circuit électrique simple donc le schéma est donné ci-dessous:

[modifier] Fonction de transfert en boucle ouverte et fonction de transfert en boucle fermée

[modifier] Etude des systèmes classiques normalisés

[modifier] Système du premier ordre

[modifier] Fonction de transfert d'un système du premier ordre

k : Gain statique
τ : constante de temps
p = j.ω : Pour passer dans le domaine fréquentiel

[modifier] Etude fréquentielle: diagramme de bode

[modifier] Système du second ordre

[modifier] Fonction de transfert d'un système du second ordre

[modifier] Etude fréquentielle: diagramme de bode

[modifier] Système d'ordre supérieur

[modifier] Stabilité d'un système

[modifier] Introduction

En électronique analogique en général, les montages (pour le filtrage et l'amplification) utilisés, peuvent être représentés par le schéma bloc suivant:
Fichier:Systeme boucle.png figure 31
Sa fonction de transfert H(p) s'exprime de la manière suivante:

β(p) : fonction de transfert de la boucle de retour
A(p) : fonction de transfert de la chaîne directe
T(p) = β(p).A(p) : fonction de transfert en boucle ouverte

Posons T(p) = β(p).A(p) : il s'agit de la fonction de transfert en boucle ouverte ou transmittance ou encore loop gain en anglais. C'est une expression très importante pour la détermination de la stabilité ou non d'un système de la sorte.

[modifier] Définition

Fichier:Systeme boucle.png figure 31
On dit que le système est stable, si tous les zéros de son dénominateur 1 + T(p) sont à partie réelle strictement négative. Il s'agit d'un critère mathématique général, mais il existe un critère graphique très puissant qui permet de déterminer la stabilité d'un tel système, c'est le tracé du diagramme de Bode de T(p) avec p = j.ω.

[modifier] Détermination de la stabilité dans un diagramme de Bode

On a vu que est la fonction de transfert du schéma-bloc de la figure 31 . On sait que T(p) est sa fonction de transfert en boucle ouverte. On voit bien que si T(p) tend vers − 1, alors H(p) tend vers l'infini, ce qui a pour effet de rendre le système instable.

• Pour étudier la stabilité du système bouclé, on trace le diagramme de Bode (module en dB et phase en degré) de la fonction de transfert en boucle ouverte T(p). Une fois le diagramme de Bode de T(p) tracé, voici la démarche pour étudier la stabilité du système dans ce diagramme:
  

pour que le système soit stable il faut que:
pour ω = ωc telle que ,  | T(j.ωc) |  < 1 (ou 20log( | T(j.ωc) | ) < 0dB)   (1)
sinon il sera instable en boucle fermée

Ou encore:

pour que le système soit stable il faut que:
pour ω = ωc telle que ,   (2)
sinon il sera instable en boucle fermée

[modifier] Marges de stabilité

La stabilité absolue n'est pas suffisante pour garantir le bon fonctionnement de notre système. En effet, il y a toujours des paramètres perturbateurs du système que l'on ne maîtrise pas bien, c'est pourquoi on définit des marges de sécurité par rapport au point critique − 1. Ces marges de sécurité sont la marge de phase et la marge de gain .

[modifier] Marges de phase

avec ωc telle que 20log( | T(j.ωc) | ) = 0dB

[modifier] Marges de gain

avec ωc telle que 

[modifier] Conclusion